O vývoji geometrické algebry a geometrického počtu

Original page: https://geocalc.clas.asu.edu/html/Evolution.html

Ačkoli Leibniz vyjádřil sen o univerzálním geometrickém počtu v sedmnáctém století, jeho realizace začala v roce 1844 skvělým dílem Hermanna Grassmanna Měřidlo prodloužení pravítka. Grassmannova vize však natolik předběhla svou dobu, že trvalo více než století, než byla široce oceněna [Schubring, 1996]. Mezitím Grassmann pronikl hluboko do myšlení takových vynikajících matematiků, jako byli Peano [1888] a Whitehead [1848], ale jejich práce nedokázala posunout jeho vizi kupředu ani propagovat. Mnoho z jeho myšlenek bylo znovuobjeveno a/nebo dále rozvíjeno anonymně v různých odvětvích matematiky, ale bez jeho sjednocující perspektivy.

Grassmannův program vývoje univerzálního geometrického počtu se znovu objevil v roce 1966 s knihou Časoprostorová algebra (STA) od Davida Hestenese, zdokonalením jeho doktorské disertační práce (UCLA, 1963). Myšlenka geometrické algebry dostala svou moderní podobu a znovu ji oživilo více než století pokroků v matematice a fyzice od dob Grassmanna. Hlavní matematické progenitory geometrické algebry (GA) a geometrického počtu (GC) jsou uvedeny v rodokmenu níže. Role teoretické fyziky a poznámky z přednášky Marcela Riesze [1958] při stimulaci počáteční syntézy jsou popsány v článku Cliffordova algebra a interpretace kvantové mechaniky. Na druhou stranu, aplikace ve fyzice udělaly pro pokrok GA více než čistě matematický výzkum.

Kniha Časoprostorová algebra poskytla jakýsi „důkaz konceptu“. Ukázalo se, jak geometrická algebra poskytuje kompaktní formulace bez souřadnic pro základní rovnice fyziky a také nové pohledy na jejich geometrickou strukturu. K plnému využití těchto nových formulací však byly zapotřebí nové výpočetní nástroje a metody nebo alespoň bezkoordinační přeformulování a adaptace starých metod. To podnítilo vývoj geometrického počtu v několika směrech až do současnosti.

Nejkomplexnější zpracování matematické teorie je uvedeno v knize Cliffordova algebra ke geometrickému počtu [1984]. Kromě poslední kapitoly přidané v roce 1979 byl rukopis připraven k vydání v roce 1976, ale v tisku se objevil až v roce 1984 kvůli nešťastné sérii vydavatelských neštěstí. Papíry s rozšířeními a vylepšeními v kalkulu jsou shromažďovány v Univerzální geometrický počet. S obecnými argumenty a mnoha příklady se tam i jinde uvádí, že geometrická algebra je efektivnější obecný výpočetní nástroj než maticová algebra. Je proto kandidátem na nahrazení (nebo subsumování) maticové algebry v počítačovém softwaru a softwarových návrzích pro vědecké výpočty. Využití geometrické algebry v počítačově podporovaném geometrickém navrhování, počítačovém vidění a robotice se skutečně rychle rozšiřuje.

Aplikace GA ve fyzice jsou nyní tak rozmanité a rozsáhlé, že je potřeba je uspořádat do knih pro větší dostupnost. Mezitím webové stránky GA zde a v Cambridge slouží této funkci ve formě „online knih“. Toto jsou jediné stránky, které se výslovně zabývají vývojem univerzálního geometrického počtu. Nejzajímavější vývoj je v relativistické kvantové mechanice a teorii gravitace, kde GA přinesla nové poznatky a zjednodušení. Rozpracovaná kniha Časoprostorový počet je zamýšlena jako ucelený úvod do této oblasti.

Reference

W.K. Clifford, „Aplikace Grassmannovy rozsáhlé algebry“, Americký časopis o matematice 1878, I: 350-358.
H. Grassmann, 1844, „Teorie lineárního rozšíření“ (Měřidlo prodloužení pravítka), přeložil LC Kannenberg v Doktrína rozšíření“ z roku 1844 a další díla (Chicago, La Salle: Open Court Publ. 1995).

G. Peano, Geometrický počet podle Ausdehnungslehre [1888] H. Grassmanna, překlad copyright 1997 od L. Kannenberga, kterého lze kontaktovat na kannenbel@woods.uml.edu.

M. Riesz, Clifford Numbers and Spinors, (z poznámek z přednášek z let 1957-8). Editoval E. Folke Bolinder a P. Lounesto, Kluwer Academic Publisher, [1993].

G. Schubring (ed.), 1996, Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): vizionářský matematik, vědec a neohumanistický učenec, 243-245, Kluwer Academic Publisher.

AN Whitehead, 1898, „Pojednání o univerzální algebře s aplikacemi“, Cambridge University Press, Cambridge, (Reprint: Hafner, New York, 1960).

 

Nedávné knihy o geometrické/Cliffordově algebře a počtu

D. Hestenes a G. Sobczyk, Cliffordova algebra ke geometrickému počtu.

D. Hestenes, Nové základy klasické mechaniky.

D. Hestenes, Časoprostorová algebra.

D. Hestenes, Časoprostorový počet.

R. Delanghe, F. Sommen a V. Souček, Cliffordova algebra a Spinor-valued funkceKluwer Academic Publisher, Dordrecht/Boston (1992).

P. Lounesto, Cliffordovy algebry a spinoryCambridge University Press, Cambridge (1997).

R. Ablamowicz & B. Fauser (Eds.), Cliffordovy algebry a jejich aplikace v matematické fyzice, sv. 1 a 2 (Birkhauser, Boston, 2000).

E. Bayro Corrochano & G. Sobczyk, Geometrická algebra s aplikacemi ve vědě a inženýrství (Birkhauser, Boston 2001).

L. Dorst, C. Doran & J. Lasenby (Eds.), Aplikace geometrické algebry v počítačové vědě a inženýrství (Birkhauser, Boston, 2002)

W. Baylis, Elektrodynamika: Moderní geometrický přístup (Birkhauser, Boston, 1999).

A. Lasenby & C. Doran, Geometrická algebra pro fyziky (Cambridge U. Press, Cambridge 2002).

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *