Nelineární autoregresivní modely a otisky prstů

Original page: http://www-users.med.cornell.edu/~jdvicto/nlardf.html

Jonathan D. Victor, Ph.D., M.D.

úvod
nelineární modelování
otisky prstů NLAR
testování významnosti
Reference
nevyřešené problémy
Domovská stránka


Úvod: Lineární autoregresivní modely

V lineárním autoregresivním modelu řádu R je časová řada yn modelována jako lineární kombinace dřívějších hodnot R v časové řadě s přídavkem korekčního členu xn:
ynmodel = xn – aj yn-j .
Autoregresní koeficienty aj (j = 1, … R) jsou vhodné minimalizací středního kvadratického rozdílu mezi modelovanou časovou řadou ynmodel a pozorovanou časovou řadou yn. Proces minimalizace má za následek systém lineárních rovnic pro koeficienty an, známý jako Yule-Walkerovy rovnice [Yule, G.U. (1927) O metodě vyšetřování periodicity v narušené sérii se zvláštním odkazem na Wolfer čísla slunečních skvrn. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 226, 267-298].

Koncepčně je časová řada yn považována za výstup diskrétního lineárního zpětnovazebního obvodu řízeného šumem xn, ve kterém zpožďovací smyčky zpoždění j mají i zpětnou vazbu aj. Pro gaussovské signály autoregresivní model často poskytuje stručný popis časové řady yn, a výpočet koeficientů poskytuje nepřímou, ale vysoce účinnou ametodu spektrálního odhadu.

horní úvod nelineární modelování NLAR otisky význam testování odkaz


Nelineární modelování

V plné nelineární autoregresivního modelu, kvadratický (nebo vyššího řádu), termíny jsou přidány do lineárního autoregresivního modelu. Přidá se také konstantní člen, který působí proti jakémukoli čistému offsetu kvůli kvadratickým termínům:
ynmodel = xn – a0 –  aj yn-j –  bj,k yn-jyn-k.
Autoregresní koeficienty aj (j = 0, … R) a bj,k (j, k = 1, …., R) jsou vhodné minimalizací středního kvadratického rozdílu mezi modelovanou časovou řadou ynmodel a pozorovaným časové řady yn. Výsledkem procesu minimalizace je také systém lineárních rovnic, které jsou zobecněním Yule-Walkerových rovnic pro lineární autoregresivní model.

Koncepčně je časová řada yn považována za výstup obvodu s nelineární zpětnou vazbou, řízeného šumem xn. Koeficienty bj,k v zásadě popisují dynamické vlastnosti, které nejsou patrné ve výkonovém spektru nebo souvisejících opatřeních.

Ačkoli rovnice pro autoregresivní koeficienty aj a bj,k jsou lineární, odhady těchto parametrů jsou často nestabilní, v podstatě proto, že je třeba odhadnout velké množství z nich. To je motivatation pro NLAR otisku prstu.

úvod nelineární modelování NLAR otisky význam testování odkaz


Otisky prstů NLAR

Chcete-li vytvořit nelineární autoregresivní otisk prstu, zachová se pouze jeden termín úplného kvadratického modelu spolu s konstantním termínem:
ynmodel = xn – a0 –  aj yn-j – bu,v yn-uyn-v.
Autoregresní koeficienty aj (j = 0, … R) a jediný koeficient bu,v jsou vhodné minimalizací středního kvadratického rozdílu mezi modelovanou časovou řadou ynmodel a pozorovanou časovou řadou yn. To zahrnuje odhad z pouhých parametry R+2 (v porovnání s (R+1)(R+2)/2 rovnice pro úplné kvadratické autoregresivního modelu), a podstatně spolehlivější hodnoty parametrů. Stejně jako u plného kvadratického autoregresivního modelu však poskytuje charakterizaci nelineární dynamiky časové řady.

Postup montáže se provádí postupně pro všechny páry zpoždění u a v (u,v = 1, …., R). „Otisk prstu NLAR“ sestává (viz příklad) z obrysové mapy zbytků
 |ynmodel – yn|2, parametrický při výběru zpoždění u a v.

horní úvod nelineární modelování NLAR otisky význam testování odkaz


Testování významnosti

Zavedení dalšího termínu do lineárního nebo nelineárního autoregresivního modelu vždy zlepšuje přizpůsobení (ve smyslu na druhou mocninu). Akaike [Akaike, H. (1974) Nový pohled na identifikaci statistického modelu. IEEE Trans. Auto. Kontrola AC-19, 716-723] ukázala, že u lineárního autoregresivního modelu je významné zlepšení přizpůsobení spojeno se snížením zbytkové rozptylu alespoň 2V/N, kde V je rozptyl bez kandidáta dalšího termínu a N je počet datových bodů.

Ukázali jsme, že stejné kritérium, snížení reziduálního rozptylu alespoň 2V/N, je kritériem pro významu jediného nelineární termín stejně.


Odkaz


horní úvod nelineární modelování NLAR otisky význam testování